Sigue entrenando con MathCup15min — Pequeños retos hoy para grandes logros mañana.
MathCup15mins
Euler
1.º – 2.º de Bachillerato
Matemáticas, ciencia y tecnología para los retos del futuro.
Analiza, modela y resuelve problemas complejos con rigor y creatividad.
Razonamiento
y modelización
Matemáticas
avanzadas
Pensamiento
crítico
Confianza y
perseverancia
Reto de la semana
Cada día un nuevo problema. Piensa, intenta y envía tu solución.
DÍA 1 · TRIGONOMETRÍA AVANZADA
Identidades, suma de ángulos y ecuaciones
Nombre: _______________________________________ Fecha: _______________
15 minutos · 4 retos · Razona, calcula y justifica tus respuestas.
- Seno de 75°
Calcula exactamente sen(75°) a partir de 45° + 30°. Expresa el resultado con radicales y justifica cada paso.
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- Una identidad escondida
Demuestra que sen(x + y) + sen(x − y) = 2 sen(x) cos(y). Aplícala a x = 60° e y = 30°.
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- Ecuación con dos ángulos
Resuelve 2 sen(x) cos(x) = √3/2 para 0° ≤ x < 360°. Explica por qué aparecen varias soluciones.
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- Sistema trigonométrico
Halla todos los pares (x,y) con 0° ≤ x,y ≤ 90° que cumplen x + y = 90° y sen(x) = cos(2y).
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Pista
Define una función objetivo antes de optimizar.
DÍA 2 · SISTEMAS EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICOS
Sustitución, eliminación y condiciones de dominio
Nombre: _______________________________________ Fecha: _______________
15 minutos · 4 retos · Razona, calcula y justifica tus respuestas.
- Dos exponentes
Resuelve el sistema 2^x · 4^y = 128 y 4^x / 2^y = 8. Comprueba las dos igualdades.
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- Cambio de variable
Resuelve 3^x + 3^y = 36 y 3^(x+y) = 243. Indica todas las soluciones reales.
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- Logaritmos y dominio
Resuelve log₂(x) + log₂(y) = 5 y log₂(x) − log₂(y) = 1, con x,y > 0.
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- Tres incógnitas
Resuelve 2^x · 2^y = 32; 2^y · 2^z = 64; 2^x · 2^z = 128. Usa eliminación de Gauss sobre los exponentes.
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Pista
Puedes hacer un pequeño dibujo o una lista ordenada de posibilidades.
DÍA 3 · INTEGRALES Y ÁREAS
Integración definida y regiones planas
Nombre: _______________________________________ Fecha: _______________
15 minutos · 4 retos · Razona, calcula y justifica tus respuestas.
- Área bajo una parábola
Calcula el área comprendida entre y = 4 − x² y el eje horizontal. Determina primero los puntos de corte.
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- Entre dos curvas
Calcula el área encerrada entre y = 2x y y = x². Justifica qué función queda por encima.
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- Integral con parámetro
Encuentra a > 0 tal que la integral de 0 a a de 2x dx sea igual a 49.
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- Área total o área con signo
Calcula la integral de −2 a 2 de (x³ − x) dx. Después calcula el área geométrica entre la curva y el eje x en ese intervalo.
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Pista
Se trata de programación lineal: identifica qué sector aporta más beneficio marginal y respeta todas las restricciones.
DÍA 4 · INTEGRALES DOBLES Y MODELIZACIÓN
Regiones, volúmenes y desafíos MathCup
Nombre: _______________________________________ Fecha: _______________
15 minutos · 4 retos · Razona, calcula y justifica tus respuestas.
- Rectángulo de densidad variable
Calcula la integral doble de (x + 2y) sobre 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3. Interpreta el resultado como volumen bajo una superficie.
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- Región triangular
Calcula la integral doble de (x + y) en la región 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ x. Escribe los límites correctamente.
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- Volumen bajo un paraboloide
Calcula la integral doble de (4 − x² − y²) sobre el cuadrado 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1.
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- Desafío de optimización
Un rectángulo tiene perímetro 40 m. Expresa su área como función de un lado, encuentra su máximo mediante derivadas y comprueba el área con una integral doble.
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Pista
Puedes hacer un pequeño dibujo o una lista ordenada de posibilidades.
Material de apoyo
⭐ Reto extra (opcional)
🎯 Objetivos de Aprendizaje
📖 Temario Completo
📅 Horario del Semestre
📄 Ejercicios y Soluciones paso a paso
📁 Recursos Digitales
Objetivos de este nivel
- Desarrollar el razonamiento lógico.
- Reconocer y crear patrones.
- Resolver problemas en contextos reales.
- Fomentar la creatividad y la perseverancia.
- Preparar la transición a niveles superiores.
Temario principal
- 1. Patrones y secuencias
- 2. Operaciones razonadas
- 3. Geometría y visualización
- 4. Problemas de conteo
- 5. Lógica y deducción
- 6. Problemas de la vida real
Horario del grupo Euler
Sesiones online (30 min)
(Clase virtual y seguimiento)
Sesiones presenciales (sábados)
9:15 – 9:30 | Desayuno y bienvenida
9:45 – 10:30 | Matemáticas (avanzadas)
10:30 – 11:15 | Ciencia (Biología / Química)
11:15 – 11:30 | Descanso
11:30 – 12:15 | Matemática + Física
12:15 – 13:00 | Computación / Modelización
13:00 – 13:45 | Investigación / Proyecto
Ejercicios y soluciones
- Retos de semanas anteriores
- Soluciones razonadas
- Cuaderno de entrenamiento
Recursos adicionales
- Fichas de práctica
- Juegos matemáticos
- Lecturas recomendadas
- Enlaces de interés
Mi progreso
🏅 Insignias
- Estrella
- Cubo
- Mente
- Gema
Ejercicios Euler
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